已知定义在[1，4]上的函数f（x）=x2-2bx+b4（b≥1），（ I）求f（x）的最小值g（b）；（ II）求g（b）的最大值M．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义在[1，4]上的函数f（x）=x²-2bx+

b

4

（b≥1），
（ I）求f（x）的最小值g（b）；
（ II）求g（b）的最大值M．

答案

f（x）=（x-b）²-b²+

b

4

的对称轴为直线x=b（b≥1），
（ I）①当1≤b≤4时，g（b）=f（b）=-b²+

b

4

；
②当b＞4时，g（b）=f（4）=16-

31

4

b，
综上所述，f（x）的最小值g（b）=

-b2+ b 4 (1≤b≤4) 16- 31 4 b(b＞4)

．
（ II）①当1≤b≤4时，g（b）=-b²+

b

4

=-（b-

1

8

）²+

1

64

，
∴当b=1时，M=g（1）=-

3

4

；
②当b＞4时，g（b）=16-

31

4

b是减函数，∴g（b）＜16-

31

4

×4=-15＜-

3

4

，
综上所述，g（b）的最大值M=-

3

4

．