已知函数f（x）=lg1+x1-x．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明．（3）求证：f（a）+f（b）=f（a+b1+

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=lg

1+x

1-x

．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明．
（3）求证：f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）
（4）若f（

a+b

1+ab

）=1，f（

a-b

1-ab

）=2（-1＜a＜1，-1＜b＜1），求f（a），f（b）的值．

答案

（1）∵

1+x

1-x

＞0
∴-1＜x＜1，即函数的定义域（-1，1）
∵定义域关于原点对称
f（-x）=1g

1-x

1+x

=lg

1+x

1-x

=-f（x）故f（x）为奇函数
（2）任取区间（0，1）上的两个实数，a，b且a＜b
则f（a）-f（b）=lg

1+a

1-a

-lg

1+b

1-b

=lg(

1+a

1-a

÷

1+b

1-b

)=lg(

1+a

1-a

•

1-b

1+b

)＞0
即f（a）＞f（b）
∴f（x）在（0，1）上为减函数．
（3）∵f（a）+f（b）=lg

1+a

1-a

+1g

1+b

1-b

=1g

1+a+b+ab

1-a-b-ab

又∵f（(

a+b

1+ab

)）=1g

1+ a+b 1+ab

1- a+b 1+ab

=1g

1+a+b+ab

1-a-b+ab

，
∴f（a）+f（b）=f（(

a+b

1+ab

)）
（4）∵f（a）+f（b）=f（(

a+b

1+ab

)）
∴f（a）+f（b）=1
f（a）+f（-b）=f（(

a-b

1-ab

)），
∴f（a）+f（-b）=2
∵f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）=2，
解得：f（a）=

3

2

，f（b）=-

1

2

．