已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0对任意实数x,都有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,有f(x)≤(x+12)2(1)
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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0对任意实数x,都有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,有f(x)≤(x+12)2(1)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0对任意实数x,都有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,有
f(x)≤(
x+1
2
)
2
(1)求f(1)的值;
(2)证明:a>0、c>0;
(3)当x∈[-1,1]时,g(x)=f(x)-mx(m∈R)是单调的,求证:m≤0或m≥1.
答案
(1)由条件可知
x≤f(x)≤
(
x+1
2
)
2
对任意实数x∈(0、2)恒成立,取x=1得1≤f(1)≤1,故f(1)=1.
(2)由f(-1)=0得a-b+c=0,故
b=
1
2
,a+c=
1
2
,
由对任意实数x,都有f(x)-x≥0得ax
2
+(b-1)x+c≥0,
所以
a>0
△=
(b-1)
2
-4ac≤0
,即
a>0
△=
1
4
-4ac≤0
,即
a>0
ac≥
1
16
故a>0,c>0
(3)由(2)可知
f(x)=
1
4
x
2
+
1
2
x+
1
4
,
g(x)=
1
4
x
2
+
1
2
x+
1
4
-mx
在[-1、1]单调,
g′(x)=
1
2
x+
1
2
-m
≥0或≤0在[-1、1]上恒成立,
所以
m≤
(
1
2
x+
1
2
)
min
=0
或
m≥
(
1
2
x+
1
2
)
max
=1
举一反三
已知函数
f(x)=
x-1
x-2
(1)求f(2x+2)的解析式,并求其定义域
(2)判断函数f(x)在x∈(2,+∞)上的单调性,并证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)={
5x+1,x≥0
-3x+2,x<0
,则f(1)+f(-1)的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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2
-2bx+
b
4
(b≥1),
( I)求f(x)的最小值g(b);
( II)求g(b)的最大值M.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x+1)=2x
2
-4x,则
f(1-
2
)
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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关于x的二次函数f(x)=x
2
-2x-a在[1,3]最小值为2,则a为何值?
题型:解答题
难度:一般
|
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