设函数f（x）=log2（x+1）-log2（x-1）．（1）求函数f（x）的奇偶性（2）判断函数f（x）在（1，+∞）的增减性，并进行证明；（3）若x∈（3，
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）=log2（x+1）-log2（x-1）．
（1）求函数f（x）的奇偶性
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）的增减性，并进行证明；
（3）若x∈（3，+∞）时，不等式f（x）＜2x+m恒成立，求实数m的取值范围． |
答案
（1）f（x）=log2（x+1）-log2（x-1）．
定义域为（1，+∞）不关于原点对称
故函数f（x）为非奇非偶函数
（2）f（x）=log2（x+1）-log2（x-1）=log2 （x＞1）
令g（x）==1+，设x1＞x2＞1
则g（x1）-g（x2）=1+-(1+)=
∵x1＞x2＞1
∴g（x1）-g（x2）＜0
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递减
（3）若x∈（3，+∞）时，不等式f（x）＜2x+m恒成立，
则m＞[f（x）-2x]max=[log2 -2x]max
而log2 -2x在（3，+∞）上单调递减
∴[log2 -2x]＜-7
∴实数m的取值范围是m≥-7 |
举一反三
已知函数f（x）都任意的a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且x＞0时，f（x）＞1．
（1）判定f（x）在R上的单调性；
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m2-m-2）＜3． |
| 已知定义域为R的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+2），当x＞1时，f（x）单调递减，如果1+x1x2＜x1+x2＜2，则f（x1）+f（x2）的值（ ） |
| 判断函数f(x)=x+(x≥1)的单调性并给出证明． |
| 若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，且满足f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y），f（-2）=f（1）≠0，则g（1）+g（-1）=______ |
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）且满足f（-1）=0对任意实数x，都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有f(x)≤()2
（1）求f（1）的值；
（2）证明：a＞0、c＞0；
（3）当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，求证：m≤0或m≥1． |
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