已知函数f(x)都任意的a、b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且x>0时,f(x)>1.(1)判定f(x)在R上的单调性;(2)若f(4)=5,解
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)都任意的a、b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且x>0时,f(x)>1. (1)判定f(x)在R上的单调性; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3. |
答案
(1)任取x1<x2,可得x2-x1>0. ∵x>0时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1. 因此,f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1)-1>f(x1), 即f(x1)<f(x2), ∴f(x)是R上的增函数. (2)∵f(4)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3. 因此,f(3m2-m-2)<3=f(2). 又由(1)的结论知,f(x)是R上的增函数, ∴3m2-m-2<2,化简得3m2-m-4<0,解之得-1<m< 所以不等式f(3m2-m-2)<3的解集为(-1,) |
举一反三
已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+2),当x>1时,f(x)单调递减,如果1+x1x2<x1+x2<2,则f(x1)+f(x2)的值( ) |
判断函数f(x)=x+(x≥1)的单调性并给出证明. |
若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数,且满足f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)=______ |
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0对任意实数x,都有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,有f(x)≤()2 (1)求f(1)的值; (2)证明:a>0、c>0; (3)当x∈[-1,1]时,g(x)=f(x)-mx(m∈R)是单调的,求证:m≤0或m≥1. |
已知函数f(x)= (1)求f(2x+2)的解析式,并求其定义域 (2)判断函数f(x)在x∈(2,+∞)上的单调性,并证明. |
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