已知函数f（x）=-x2+2x（1）证明函数f（x）在（-∞，1]上是增函数；（2）当x∈[-5，-2]时，f（x）是增函数还是减函数？
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=-x2+2x
（1）证明函数f（x）在（-∞，1]上是增函数；
（2）当x∈[-5，-2]时，f（x）是增函数还是减函数？ |
答案
（1）方法一：任取x1，x2∈（-∞，1]，x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=（x2-x1）（x2+x1-2），
∵x1＜x2≤1，∴x2+x1-2＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）
∴f（x）=-x2+2x在（-∞，1]上是增函数；
方法二：
∵f′（x）=-2x+2=-2（x-1），当x∈（-∞，1）时，x-1＜0，∴-2（x-1）＞0，
∴f′（x）＞0在x∈（-∞，1）上恒成立．
故f（x）在（-∞，1]上是增函数．
2）∵f（x）在（-∞，1]上是增函数，
而[-5，-2]是区间（-∞，1]的子区间，∴f（x）在[-5，-2]上是增函数． |
举一反三
| 定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有＞0成立，则函数f（x）是 ______函数．（单调性） |
| 若函数f（x）在R上是减函数，那么f（2x-x2）的单调递增区间是 ______ |
设函数f（x）=log2（x+1）-log2（x-1）．
（1）求函数f（x）的奇偶性
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）的增减性，并进行证明；
（3）若x∈（3，+∞）时，不等式f（x）＜2x+m恒成立，求实数m的取值范围． |
已知函数f（x）都任意的a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且x＞0时，f（x）＞1．
（1）判定f（x）在R上的单调性；
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m2-m-2）＜3． |
| 已知定义域为R的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+2），当x＞1时，f（x）单调递减，如果1+x1x2＜x1+x2＜2，则f（x1）+f（x2）的值（ ） |
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