已知函数f(x)=ax-a-x,(a>1,x∈R).(Ⅰ) 判断并证明函数f(x)的奇偶性;(Ⅱ)判断并证明函数f(x)的单调性;(Ⅲ)若f(1-t)+f(1-
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ax-a-x,(a>1,x∈R). (Ⅰ) 判断并证明函数f(x)的奇偶性; (Ⅱ)判断并证明函数f(x)的单调性; (Ⅲ)若f(1-t)+f(1-t2)<0,求实数t的取值范围. |
答案
(Ⅰ)因为函数f(x)的定义域为R,又f(-x)=a-x-ax=-f(x) 所以f(x)是奇函数 (Ⅱ)函数f(x)为R上的增函数. 证明:在R上任取x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=ax1-a-x1-ax2+a-x2=(ax1-ax2)+(a-x2-a-x1) =(ax1-ax2) () 因为x1<x2,又a>1,所以ax1<ax2,ax1-ax2<0,>0 ∴f(x1)-f(x2)<0 所以f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)为R上的增函数 (Ⅲ)由f(1-t)+f(1-t2)<0,可得f(1-t)<-f(1-t2). 由函数f(x)是奇函数,可得f(1-t)<f(t2-1). 又函数f(x)为R上的增函数,所以1-t<t2-1,即t2+t-2>0. 解得 t<-2,或t>1 |
举一反三
已知函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于直线y=x对称,令h(x)=f(1-|x|),则关于函数h(x)有以下命题: (1)h(x)的图象关于原点(0,0)对称; (2)h(x)的图象关于y轴对称; (3)h(x)的最小值为0; (4)h(x)在区间(-1,0)上单调递增. 正确的是______. |
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω>0,|φ|<)的图象与y轴交于(0,3),它在y右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(m,6)和(m+,-6). (1)求函数f(x)的解析式及m的值; (2)若锐角θ满足tanθ=2,求f(θ). |
已知函数f(x)=(x∈[2,6]).试判断此函数在x∈[2,6]上的单调性并求函数在x∈[2,6]上的最大值和最小值. |
判断函数f(x)=x2-2在(0,+∞)上的单调性,并证明. |
函数f(x)=-x2+2(a-2)x+3在区间[-2,-1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减,则实数a的取值范围是______. |
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