设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+1）=f（1-x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x2．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+1）=f（1-x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）．

答案

证明：（1）∵对任意实数x，恒有f（x+1）=f（1-x）
∴f（x）=f（2-x）
∵f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴f（2-x）=-f（-x）即f（2+x）=-f（x）
∴f（4+x）=f[2+（2+x）]=-f（2+x）=f（x）
∴函数f（x）是以4为周期的周期函数
（2））∵x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
当x∈[-2，0]时，可得f（x）=2x+x²
设x∈[2，4]，则x-4∈[-2，0]
∴f（x-4）=2（x-4）+（x-4）²=f（x）
∴f（x）=x²-6x+8
（3）∵f（1）=1，f（2）=0，f（3）=-1，f（4）=0
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）
=503[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）
=1