若函数y=f(x),x∈D同时满足下列条件,(1)在D内为单调函数;(2)存在实数m,n.当x∈[m,n]时,y∈[m,n],则称此函数为D内等射函数,设f(x
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若函数y=f(x),x∈D同时满足下列条件,(1)在D内为单调函数;(2)存在实数m,n.当x∈[m,n]时,y∈[m,n],则称此函数为D内等射函数,设f(x
题型:填空题
难度:一般
来源:蓝山县模拟
若函数y=f(x),x∈D同时满足下列条件,(1)在D内为单调函数;(2)存在实数m,n.当x∈[m,n]时,y∈[m,n],则称此函数为D内等射函数,设
f(x)=
a
x
+a-3
lna
(a>0,且a≠1)则:
(1)f(x)在(-∞,+∞)的单调性为______;
(2)当f(x)为R内的等射函数时,a的取值范围是______.
答案
(1)∵
f(x)=
a
x
+a-3
lna
(a>0,且a≠1),
∴
f
′
(x)=
1
lna
•lna
•a
x
=a
x
>0,
∴f(x)在R上是增函数.
(2)∵f(x)为等射函数,
∴f(x)=
a
x
+a-3
lna
=x有两个不等实根,
即a
x
-xlna+a-3=0有两个不等实根,
令g(x)=a
x
-xlna+a-3,
∴g′(x)=a
x
lna-lna=lna(a
x
-1),
令g′(x)=0,得x=0.
①当a>1时,x>0时,g′(x)>0,x<0时,g′(x)<0,
∴g(x)
min
=g(0)=1+a-3<0,
∴a<2,
故1<a<2;
②当0<a<1时,x>0时,g′(x)>0,x<0时,g′(x)<0,
∴g(x)
min
=g(0)=0,
∴0<a<1.
综上所述,a∈(0,1)∪(1,2).
故答案为:增函数,(0,1)∪(1,2).
举一反三
已知函数f(x)=lnx,g(x)=
3
2
-
a
x
(x为实常数).
(1)当a=1时,求函数φ(x)=f(x)-g(x)在x∈[4,+∞)上的最小值;
(2)若方程e
2f(x)
=g(x)(其中e=2.71828…)在区间[
1
2
,1
]上有解,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
1
x-2
(x≠2)
,则f(x)( )
A.在(-2,+∞)上是增函数
B.在(-2,+∞)上是减函数
C.在(2,+∞)上是增函数
D.在(2,+∞)上是减函数
题型:单选题
难度:一般
|
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首项为正数的等比数列{a
n
},满足a
k-3
=8且a
k
a
k-2
=
a
26
=1024.对满足a
t
>128的任意正整数t,函数f(t)=
k+t
k-t
的最小值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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定义在R上的单调增函数f(x),对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若f(k•3
x
)+f(3
x
-9
x
-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上单调递增,设a=f(3),
b=f(
2
)
,c=f(2),则a,b,c从大到小的排列顺序是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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