定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒为0,(1)求f(1)和f(-1)的值;(2)试判断f(x)的奇偶
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒为0, (1)求f(1)和f(-1)的值; (2)试判断f(x)的奇偶性,并加以证明; (3)若x>0时f(x)为增函数,求满足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x取值集合. |
答案
(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0; 令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),∴f(-1)=0; (2)f(x)是偶函数,证明如下 令y=-1,∵f(xy)=f(x)+f(y),∴f(-x)=f(x)+f(-1), ∵f(-1)=0,∴f(-x)=f(x),∵f(x)不恒为0,∴f(x)是偶函数; (3)∵f(x+1)-f(2-x)≤0,∴f(x+1)≤f(2-x) ∵f(x)是偶函数,∴f(|x+1|)≤f(|2-x|) ∵x>0时,f(x)为增函数, ∴|x+1|≤|2-x| ∴x≤ ∴满足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x取值集合为{x|x≤}. |
举一反三
已知函数f(x)=则满足不等式f(x2-3)<f(2x)中x的取值范围为( )A.(0,3) | B.[,3] | C.(0,] | D.(-1,3) |
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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R有f(x)=f(2-x)成立,则f(2010)的值为______. |
已知函数f(x)=,则f(4)=______,f(2+log23)=______. |
(Ⅰ)关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围. (Ⅱ)若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0满足f()=f(x)-f(y).f(6)=1,解不等式f(x-3)-f()<2. |
若函数y=f(x),x∈D同时满足下列条件,(1)在D内为单调函数;(2)存在实数m,n.当x∈[m,n]时,y∈[m,n],则称此函数为D内等射函数,设f(x)=(a>0,且a≠1)则: (1)f(x)在(-∞,+∞)的单调性为______; (2)当f(x)为R内的等射函数时,a的取值范围是______. |
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