已知函数f(x)=exa+aex(a＞0，a∈R)是R上的偶函数．（1）求a的值；（2）证明函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

ex

a

+

a

ex

(a＞0，a∈R)是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．

答案

（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

，…（2分）
整理得(a-

1

a

)(ex-

1

ex

)=0，得a-

1

a

=0，又a＞0，∴a=1．…（6分）
（2）由（1）得f(x)=ex+

1

ex

，设0≤x₁＜x₂，
可得f（x₁）-f（x₂）=ex1+

1

ex2

-（ex2+

1

ex2

）=

(ex1-ex2)(ex1+x2-1)

ex1+x2

．
由题设可得，ex1-ex2＜0，ex1+x2- 1＞0，ex1+x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．