定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy);②当x∈(-1,0)时,f(x)>0.(Ⅰ)判
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定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy);②当x∈(-1,0)时,f(x)>0.(Ⅰ)判
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-1,1)都有
f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
;②当x∈(-1,0)时,f(x)>0.
(Ⅰ)判断f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由;
(Ⅱ)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性,并说明理由;
(Ⅲ)若______,试求
f(
1
2
)-f(
1
11
)-f(
1
19
)
的值.
答案
(Ⅰ)令x=y=0⇒f(0)=0.
令y=-x,则f(x)+f(-x)=0⇒f(-x)=-f(x)⇒f(x)在(-1,1)上是奇函数.
(Ⅱ)设0<x
1
<x
2
<1,则
f(
x
1
)-f(
x
2
)=f(
x
1
)+f(-
x
2
)=f(
x
1
-
x
2
1-
x
1
x
2
)
,
而x
1
-x
2
<0,0<x
1
x
2
<1⇒
x
1
-
x
2
1-
x
1
x
2
<0
.
∴
f(
x
1
-
x
2
1-
x
1
x
2
)
>0.即 当x
1
<x
2
时,f(x
1
)>f(x
2
).
∴f(x)在(0,1 )上单调递减.
(Ⅲ)由于
f(
1
2
)-f(
1
5
)=f(
1
2
)+f(-
1
5
)=f(
1
2
-
1
5
1-
1
2×5
)=f(
1
3
)
,
f(
1
3
)-f(
1
11
)=f(
1
4
)
,
f(
1
4
)-f(
1
19
)=f(
1
5
)
,
∴
f(
1
2
) -f(
1
11
) -f(
1
19
) =2f(
1
5
) =-1
.
举一反三
若函数y=a
2x
+2a
x
-1(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值是14,则a=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
2
x
,x>0
f(x+3),x≤0
,则f(-6)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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①
y=-
1
x
;②y=-3x+2;③
y=lo
g
1
2
x
;④y=3
x
.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
2
x
(x<0)
3
(0≤x≤1)
lo
g
1
3
x(x>1)
,当a<0时,则f(f(f(a)))的值为 ______.
题型:填空题
难度:简单
|
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