设f(x)=alog22x+blog4x2+1,(a,b为常数).当x>0时,F(x)=f(x),且F(x)为R上的奇函数.(Ⅰ)若f(12)=0,且f(x)的

设f(x)=alog22x+blog4x2+1,(a,b为常数).当x>0时,F(x)=f(x),且F(x)为R上的奇函数.(Ⅰ)若f(12)=0,且f(x)的

题型:解答题难度:一般来源:不详
f(x)=alog22x+blog4x2+1,(a,b为常数).当x>0时,F(x)=f(x),且F(x)为R上的奇函数.
(Ⅰ)若f(
1
2
)=0
,且f(x)的最小值为0,求F(x)的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,g(x)=
f(x)+k-1
log2x
在[2,4]上是单调函数,求k的取值范围.
答案
(1)f(x)=alog22x+blog2x+1
f(
1
2
)=0
得a-b+1=0,
∴f(x)=alog22x+(a+1)log2x+1
若a=0则f(x)=log2x+1无最小值.
∴a≠0.
欲使f(x)取最小值为0,只能使





a>0
4a-(a+1)2
4a
=0
,知a=1,b=2.
∴f(x)=log22x+2log2x+
设x<0则-x>0,
∴F(x)=f(-x)=log22(-x)+2log2(-x)+1
又F(-x)=-F(x),
∴F(x)=-log22(-x)-2log2(-x)-1
又F(0)=0∴F(-x)=





log22x+2log2x+1  (x>0)
0
   
   
   
   
   
   
   
   
(x=0)
-log22(-x)-2log2(-x)-1  (x<0)

(2)g(x)=
log22x+2log2x+1+k-1
log2x
=log2x+
k
log2x
+2
.x∈[2,4].
得log2x=t.则y=t+
k
t
+2
,t∈[1,2].
∴当k≤0,或


k
≤1


k
≥2
时,y为单调函数.
综上,k≤1或k≥4.
举一反三
已知f(x)=x+sinx,x∈[-1,1],且f(a+
1
3
)+f(2a)>0
,则a的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=





ax(x<0)
(a-2)x+2a(x≥0)
满足对任意x1x2,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0
成立,则a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=x-a


x
在[1,4]上单调递增,则实数a的最大值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知y=f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增.则不等式f(2x)≤f(x+1)上的解集为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案


a


b
是不共线的两向量,其夹角是θ,若函数f(x)=(x


a
+


b
)•(


a
-x


b
)(x∈R)在(0,+∞)上有最大值,则(  )
A.|


a
|<|


b
|,且θ是钝角
B.|


a
|<|


b
|,且θ是锐角
C.|


a
|>|


b
|,且θ是钝角
D.|


a
|>|


b
|,且θ是锐角
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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