已知偶函数f:Z→Z满足f(1)=1,f(2011)≠1,对任意的a、b∈Z,都有f(a+b)≤max{f(a),f(b)},(注:max{x,y}表示x,y中
题型:填空题难度:简单来源:不详
已知偶函数f:Z→Z满足f(1)=1,f(2011)≠1,对任意的a、b∈Z,都有f(a+b)≤max{f(a),f(b)},(注:max{x,y}表示x,y中较大的数),则f(2012)的可能值是______. |
答案
证明:∵f(1)=1,f(a+b)≤max{f(a),f(b)} f(2)≤max{f(1),f(1)}=1,即f(2)≤1, f(3)≤max{f(1),f(2)}=1,即f(3)≤1, f(4)≤max{f(1),f(3)}=1,即f(4)≤1, …, f(2011)≤max{f(1),f(2010)}=1,即f(2011)≤1. 因为 f(2011)≠1,所以f(2011)<1, 从而 f(2012)≤max{f(1),f(2011)}=1,即f(2012)≤1. 假设 f(2012)<1, 因为 f(x)为偶函数,所以f(-2011)=f(2011). 于是 f(1)=f≤max{f(2012,f(-2011)}=max{f(2012),f(2011)}<1, 即 f(1)<1.这与f(1)=1矛盾. 所以f(2012)<1不成立,从而只有f(2012)=1. 故答案为:1. |
举一反三
若函数f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15,则f(x)的最大值是:______. |
称一个函数是“好函数”当且仅当其满足:(1)定义在R上;(2)存在a<b,使其在(-∞,a),(b,+∞)上单调递增,在(a,b)上单调递减,则以下函数是好函数的有______(填写函数编号) ①y=|x-2|; ②y=x|x-2|; ③y=x3-3x+1; ④y=x3+x+3. |
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(-1,3). (1)若函数g(x)=x,f(x)在区间(-∞,)内单调递减,求a的取值范围; (2)当a=-1时,证明方程f(x)=2x3-1仅有一个实数根. (3)当x∈[0,1]时,试讨论|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要条件. |
已知f(x)=sin2x+2cosxf′(),则f′()=______. |
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