若函数f(x)=ax-1ax+1(a>0且a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)当a>1时,判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并加以证明.
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若函数f(x)=ax-1ax+1(a>0且a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)当a>1时,判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并加以证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
若函数
f(x)=
a
x
-1
a
x
+1
(a>0且a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)当a>1时,判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并加以证明.
答案
(1)由f(x)的定义域为(-∞,+∞),关于数0对称(2分)
f(-x)=
a
-x
-1
a
-x
+1
=
1-
a
x
1+
a
x
=-f(x)
,得∴f(x)为R上的奇函数.(6分)
(2)当a>1时,f(x)在(-∞,+∞)上的单调递增.(8分)(本次未扣分,以后考试一定会扣分)
证明:设x
1
,x
2
为(-∞,+∞)上任意两个实数,且x
1
<x
2
,
则由a>1得
a
x
1
<
a
x
2
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
a
x
1
-1
a
x
1
+1
-
a
x
2
-1
a
x
2
+1
=
2(
a
x
1
-
a
x
2
)
(
a
x
1
+1)(
a
x
2
+1)
<0
∴当a>1时,f(x)在(-∞,+∞)上的单调递增.(14分)
举一反三
已知函数y=f(x-1)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,且g(1)=2则( )
A.f(1)=1
B.f(2)=1
C.f(3)=1
D.f(0)=2
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
4
x
4
x
+2
(1)试求
f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∈
N
*
)
的值;
(2)若数列{a
n
}满足a
n
=f(0)+
f(
1
n
)
+
f(
2
n
)
+…+
f(
n-1
n
)
+f(1)(n∈N
*
),求数列{a
n
}的通项公式;
(3)若数列{b
n
}满足b
n
=2
n+1
•a
n
,S
n
是数列{b
n
}前n项的和,是否存在正实数k,使不等式knS
n
>4b
n
对于一切的n∈N
*
恒成立?若存在指出k的取值范围,并证明;若不存在说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点
(-
3
4
,0)
对称,且满足
f(x)=-f(x+
3
2
)
,又f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知偶函数f:Z→Z满足f(1)=1,f(2011)≠1,对任意的a、b∈Z,都有f(a+b)≤max{f(a),f(b)},(注:max{x,y}表示x,y中较大的数),则f(2012)的可能值是______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
若函数f(x)=-x
4
-8x
3
-14x
2
+8x+15,则f(x)的最大值是:______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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