已知函数f(x)=4x4x+2（1）试求f(1n)+f(n-1n)(n∈N*)的值；（2）若数列{an}满足an=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

4x

4x+2

（1）试求f(

1

n

)+f(

n-1

n

)(n∈N*)的值；
（2）若数列{a_n}满足a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，S_n是数列{b_n}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由．

答案

（本小题满分16分）
（1）∵f（x）+f（1-x）=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4

4+2•4x

=1
∴f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1．（5分）
（2）∵a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1）（n∈N^*），①
∴an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f（

1

n

）+f（0）（n∈N^*），②
由（1），知 f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1，
∴①+②，得2a_n=n+1，
∴an=

n+1

2

．（10分）
（3）∵bn=2n+1•an，∴bn=(n+1)•2n，
∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2ⁿ，①
∴2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1，
即S_n=n•2ⁿ⁺¹，（12分）
要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，即kn²-2n-2＞0对于一切的n∈N^*恒成立，
n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4．
设g（n）=kn²-2n-2，
当k＞4时，由于对称轴直线n=

1

k

＜1，且 g（1）=k-2-2＞0，而函数f（x）在[1，+∞） 是增函数，
∴不等式knS_n＞b_n恒成立，
即当k＞4时，不等式knS_n＞b_n对于一切的n∈N^*恒成立 …（16分）