已知函数f(x)=x-1xm且f(2)=32，x∈(0，+∞)．（1）判断f（x）在其定义域上的单调性并证明；（2）若f（3x-2-1）＜f（9x-1），求x的

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=x-

1

xm

且f(2)=

3

2

，x∈(0，+∞)．
（1）判断f（x）在其定义域上的单调性并证明；
（2）若f（3^x-2-1）＜f（9^x-1），求x的取值范围．

答案

（1）∵f(2)=

3

2

，
∴2-

1

2m

=

3

2

，
∴m=1，
∴f(x)=x-

1

x

（3分）
在（0，+∞）内任取两个值x₁，x₂，且x₁＜x₂（4分）
f(x1)-f(x2)=(x1-

1

x1

)-(x2-

1

x2

)=

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

（7分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，∵x₁＞0，x₂＞0，
∴x₁x₂＞0，1+x₁x₂＞0，∴f（x₁）＜f（x₂）（9分）
所以f（x）在其定义域上是单调增函数．（10分）
（2）由题意得：

3x-2-1＞0 9x-1＞0 3x-2-1＜9x-1

（13分）
∴

x＞2 x＞0 x＞-2

，∴x＞2（16分）