已知函数f(x)=x2-2x,g(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0]时,g(x)+f(x)=x2(1)求函数g(x)在R上的解析式;(2)解不等式g(x)

已知函数f(x)=x2-2x,g(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0]时,g(x)+f(x)=x2(1)求函数g(x)在R上的解析式;(2)解不等式g(x)

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2-2x,g(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0]时,g(x)+f(x)=x2
(1)求函数g(x)在R上的解析式;
(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;
(3)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
答案
(1)设x∈[0,+∞),则-x∈(-∞,0]
∵当x∈(-∞,0]时,g(x)+f(x)=x2∴当x∈(-∞,0]时,g(x)=2x
∴g(-x)=-2x∵g(x)是R上的奇函数∴g(x)=-g(-x)=2x,x∈[0,+∞)
∴函数g(x)在R上的解析式,g(x)=2x
(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得|x-1|≥x2-4x∴x2-5x+1≤0,x2-3x-1≤0
5-


21
2
≤x≤
5+


21
2
3-


13
2
≤x≤
3+


13
2

因此,原不等式的解集为[
3-


13
2
5+


21
2
]

(3)h(x)=-λx2+(2λ+2)x+1
①λ=0时,h(x)=2x+1在[-1,1]上是增函数∴λ=0
②当λ≠0,对称轴方程为x=
λ+1
λ

当λ<0时,
λ+1
λ
≤-1
,解得-
1
2
≤λ<0

当λ>0时,
λ+1
λ
≥1
,解得λ>0
综上所述,-
1
2
≤λ
举一反三
函数y=x|x-2|的单调递增区间是 ______.
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有两个函数f(x)=asin(kx+
π
3
),g(x)=btan(kx-
π
3
)(k>0),它们的周期之和为
3
2
π
且f(
π
2
)=g(
π
2
),f(
π
4
)
=-


3
g(
π
4
)+1
求这两个函数,并求g(x)的单调递增区间.
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已知函数f(x)=x-
1
xm
f(2)=
3
2
,x∈(0,+∞)

(1)判断f(x)在其定义域上的单调性并证明;
(2)若f(3x-2-1)<f(9x-1),求x的取值范围.
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已知函数f(x)=
x2+2x+a
x
,x∈[1,+∞)

(1)当a=
1
2
时,求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围;
(3)若对任意a∈[-1,1],f(x)>4恒成立,试求实数x的取值范围.
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已知两个不共线的向量


OA


OB
的夹角为θ(θ为定值),且|


OA
|=3
|


OB
|=2

(1)若θ=
π
3
,求


OA


AB
的值;
(2)若点M在直线OB上,且|


OA
+


OM
|
的最小值为
3
2
,试求θ的值.
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