(1)∵向量=(2cosx,2sinx),=(cosx,-cosx), 又∵f(x)=•, ∴f(x)=2cos2x-2sinxcosx =2cos(2x+)+1. …(4分) 由2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z), 即函数f(x)的对称轴方程为x=-(k∈Z).…(6分) (2)由(1)知g(x)=2cos(x+π)+ax+1=-2cosx+ax+1 ∵函数g(x)的图象关于y轴对称, ∴函数g(x)是偶函数,即a=0. 故g(x)=-2cosx+1…(8分) 又函数g(x)的周期为6, ∴g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)=6. ∴g(1)+g(2)+g(3)…+g(2011)=2010. …(11分) (3)∵已知对任意实数x1,x2,都有|cosx1-cosx2|≤|x1-x2|成立 ∴对于任意x1,x2且x1<x2,由已知得(x1-x2)≤cosx1-cosx2≤(x2-x1). ∴g(x1)-g(x2)=2cosx1+ax1+1-2cosx2-ax2-1=2(cosx1-cosx2)+a(x1-x2)<(x2-x1)+a(x1-x2)=(a-)(x1-x2) ∵a>, ∴(a-)(x1-x2)<0 即当x1<x2时,恒有g(x1)<g(x2). 所以当a>时,函数g(x)在(-∞,+∞)上是增函数.…(16分) |