已知函数f(x)=a-1|x|.(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=a-1|x|.(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
题型:填空题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=a-
1
|x|
.
(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
答案
证明:(1)当x∈(0,+∞)时,f(x)=a-
1
x
,
设0<x
1
<x
2
,则x
1
x
2
>0,x
2
-x
1
>0.
f(x
1
)-f(x
2
)=(a-
1
x
1
)-(a-
1
x
2
)=
1
x
2
-
1
x
1
=
x
1
-
x
2
x
1
x
2
<0.
∴f(x
1
)<f(x
2
),
即f(x)在(0,+∞)上是增函数
(2)由题意a<
1
x
+2x在(1,+∞)上恒成立,
设h(x)=2x+
1
x
,则a<h(x)在(1,+∞)上恒成立.
可证h(x)在(1,+∞)上单调递增.
故a≤h(1),即a≤3,
∴a的取值范围为(-∞,3].
举一反三
设函数f(x)满足
f(x)=1+f(
1
2
)•lo
g
2
x
,则f(2)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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函数y=f(x)的图象与y=2
x
的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(4x-x
2
)的递增区间是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x+1)=2
x-1
,则f(5)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若f(x)=-x
2
+2ax与
g(x)=
a
x+1
在区间[1,2]上都是减函数,则a的值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=lg
a-x
1+x
,
(Ⅰ)若f(x)为奇函数,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在(-1,5]内有意义,求a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若f(x)在(m,n)上的值域为(-1,+∞),求(m,n).
题型:解答题
难度:一般
|
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