设函数f(x)=23x+5+lg3-2x3+2x,(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证明;(3)已知函数f(x)的反函数f-1
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设函数f(x)=23x+5+lg3-2x3+2x,(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证明;(3)已知函数f(x)的反函数f-1
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数f(x)=
2
3x+5
+
lg
3-2x
3+2x
,
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证明;
(3)已知函数f(x)的反函数f
-1
(x),问函数y=f
-1
(x)的图象与x轴有交点吗?若有,求出交点坐标;若无交点,说明理由.
答案
(1)由3x+5≠0且
3-2x
3+2x
>0,解得x≠-
5
3
且-
3
2
<x<
3
2
.取交集得-
3
2
<x<
3
2
.
(2)令μ(x)=3x+5,随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数;
3-2x
3+2x
=-1+
6
3+2x
随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数.
又y=lgx在定义域内是增函数,根据复合函数的单调性可知,y=
lg
3-2x
3+2x
是减函数,所以f(x)=
2
3x+5
+
lg
3-2x
3+2x
是减函数.
(3)因为直接求f(x)的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解.
设函数f(x)的反函数f
-1
(x)与x轴的交点为(x
0
,0).根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知,f(x)与y轴的交点是(0,x
0
),将(0,x
0
)代入f(x),解得x
0
=
2
5
.
所以函数y=f
-1
(x)的图象与x轴有交点,交点为(
2
5
,0).
举一反三
f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,则不等式f(x)>f[8(x-2)]的解集是( )
A.(0,+∞)
B.(0,2)
C.(2,+∞)
D.(2,
16
7
)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知f(x)=x
2
+x+1,则
f(
2
)
=______;f[
f(
2
)
]=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
设f(x)=log
a
(x+1),g(x)=log
a
(t-x),a>0且a≠1,且F(x)=f(x)-g(x)是奇函数.
(1)若a=2,解关于x的不等式
f(x)-1>lo
g
a
x-1
x-2
(2)判断F(x)的单调性,并证明.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数y=f(x)对任意实数x、y满足f(x)+f(y-x)=f(y),且当x>0时,f(x)<0.
(1)求证:y=f(x)是奇函数;
(2)判断y=f(x)的单调性,并证明;
(3)对任意t∈[1,2],f(tx
2
-2x)<f(t+2)恒成立,求x的范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设函数f(x)满足f(x)=f(4-x),当x>2时,f(x)为增函数,则a=f(1.1
0.9
)、b=f(0.9
1.1
)、c=f(
lo
g
1
2
4
)的大小关系是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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