已知椭圆：的左焦点为，右焦点为．（Ⅰ）设直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程；（Ⅱ）设为坐标原点，取曲线上

题型：不详难度：来源：

已知椭圆：的左焦点为，右焦点为．

（Ⅰ）设直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，取曲线上不同于的点，以为直径作圆与相交另外一点，求该圆的面积最小时点的坐标．

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）.

解析

试题分析：(Ⅰ) 利用抛物线的定义“到定点的距离等于到定直线的距离”来求；(Ⅱ)直线与抛物线相交，联立消元，设点代入化简，利用基本不等式求最值.
试题解析：（I）在线段的垂直平分线上，∴| MP | =" |" M |
故动点M到定直线的距离等于它到定点的距离
因此动点M的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，
所以点M的轨迹的方程为  
(II)因为以OS为直径的圆与相交于点R，
所以，即
设，，则
，，，
所以，即
∵，，∴
故，当且仅当，即时等号成立
当时，，圆的直径，
这时点S的坐标为．