已知函数f(x)对任意实数x,y满足f(x)+f(y)=f(x+y)+3,f(3)=6,当x>0时,f(x)>3.(1)判断f(x)在R上的单调性,并证明你的结
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)对任意实数x,y满足f(x)+f(y)=f(x+y)+3,f(3)=6,当x>0时,f(x)>3. (1)判断f(x)在R上的单调性,并证明你的结论. (2)是否存在实数a使f (a2-a-5)<4成立?若存在求出实数a;若不存在,则说明理由. |
答案
(1)令y>0,则x+y>x ∵当x>0时,f(x)>3 ∴f(y)>3 又∵函数f(x)对任意实数x,y满足f(x)+f(y)=f(x+y)+3,当x>0时,f(x)>3 ∴f(x)+f(y)=f(x+y)+3>f(x)+3 即f(x+y)>f(x) 故f(x)在R上单调递增; (2)令x=1,y=1,则f(1)+f(1)=f(2)+3, 令x=2,y=1,则f(2)+f(1)=3f(1)-3=f(3)+3, 又∵f(3)=6, ∴f(1)=4 由(1)中f(x)在R上单调递增 则f (a2-a-5)<4成立 若f (a2-a-5)<f(1), 即a2-a-5<1 解得:-2<a<3 故解集为{a|-2<a<3} |
举一反三
函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值和为3,则函数y=2ax-1在[0,1]上的最大值是( ) |
已知函数f(x)= (x≠-1). (1)求函数f ( x )的值域; (2)求函数f ( x )的反函数f-1(x); (3)证明:f-1(x)在(2,+∞)上为减函数. |
函数y=log2(-x2+2x+7)值域是______. |
已知函数f(x)=ax2-2ax+3-a2在[-3,2]上的最大值为3,则a的值为______. |
给出函数f(x)=的四个性质: ①f(x)在R上是增函数; ②f(x)的值域是[0,1); ③f(x)的图象关于y轴对称; ④f(x)存在最大值. 上述四个性质中所有正确结论的序号是______. |
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