已知函数f(x)=2x+3x+1    (x≠-1)．（1）求函数f （ x ）的值域；（2）求函数f （ x ）的反函数f-1（x）；（3）证明：f-1（x）

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

2x+3

x+1

    (x≠-1)．
（1）求函数f （ x ）的值域；
（2）求函数f （ x ）的反函数f^-1（x）；
（3）证明：f^-1（x）在（2，+∞）上为减函数．

答案

（1）函数f(x)=

2x+3

x+1

  =2+

1

x+1

    
∵

1

x+1

≠0    
∴函数f （ x ）≠2
故函数f （ x ）的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）
（2）∵y=f(x)=

2x+3

x+1

  =2+

1

x+1

    
∴y-2=

1

x+1

    
∴x+1=

1

y-2

∴x=

1

y-2

-1（y≠2）
即f^-1（x）=

1

x-2

-1（x≠2）
证明；（3）任取区间（2，+∞）上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁-2＞0，x₂-2＞，x₂-x₁＞0
则f（x₁）-f（x₂）=（

1

x1-2

-1）-（

1

x2-2

-1）
=

1

x1-2

-

1

x2-2

=

x2-x1

(x1-2)•(x2-2)

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
即f^-1（x）在（2，+∞）上为减函数