已知定义在R上的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数(1)求a,b的值;(2)判断f(x)在R上的单调性并用定义证明.
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已知定义在R上的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数(1)求a,b的值;(2)判断f(x)在R上的单调性并用定义证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义在R上的函数f(x)=
b
-2
x
2
x
+a
是奇函数
(1)求a,b的值;
(2)判断f(x)在R上的单调性并用定义证明.
答案
(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=
b-1
a+1
=0,解得b=1;
则f(x)=
1-
2
x
a+
2
x
,
因为f(-x)=
1-
2
-x
a+
2
-x
=
2
x
-1
a•
2
x
+1
=-f(x)=
2
x
-1
a+
2
x
,
所以a•2
x
+1=a+2
x
,即a(2
x
-1)=2
x
-1对任意实数x都成立,
所以a=1,故a=b=1.
(2)f(x)=
1-
2
x
1+
2
x
=
2
1+
2
x
-1,f(x)在R上是减函数,
证明:任取x
1
,x
2
且x
1
<x
2
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=
2
1+
2
x
1
-
2
1+
2
x
2
=
2(
2
x
2
-
2
x
1
)
(1+
2
x
1
)(1+
2
x
2
)
,
因为x
1
<x
2
,所以
2
x
2
-
2
x
1
>0
,
所以f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
),
故f(x)在R上是减函数.
举一反三
对于函数
f(x)=a+
2
2
x
+1
(x∈R)
,
(1)用定义证明:f(x)在R上是单调减函数;
(2)若f(x)是奇函数,求a值;
(3)在(2)的条件下,解不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知
f(x)=
1
2
x
+1
+m
是奇函数,则f(-1)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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设函数y=f(x)定义在R上,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n)且当x>0时,0<f(x)<1
(1)求证:f(0)=1 且当x<0时,f(x)>1
(2)求证:f(x)在R上是减函数.
题型:解答题
难度:一般
|
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设
f(x)=
2
e
x-1
,x<2
log
3
1
(
x
2
-1)
,x≥2
则f(f(2))的值为( )
A.2e
B.2e
2
C.2
D.
2
e
2
题型:单选题
难度:一般
|
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函数y=|x-2|的单调递减区间为( )
A.(-∞,2]
B.[2,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.[0,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
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