对于函数f(x)=a+22x+1(x∈R),(1)用定义证明:f(x)在R上是单调减函数;(2)若f(x)是奇函数,求a值;(3)在(2)的条件下,解不等式f(
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对于函数f(x)=a+22x+1(x∈R),(1)用定义证明:f(x)在R上是单调减函数;(2)若f(x)是奇函数,求a值;(3)在(2)的条件下,解不等式f(
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
对于函数
f(x)=a+
2
2
x
+1
(x∈R)
,
(1)用定义证明:f(x)在R上是单调减函数;
(2)若f(x)是奇函数,求a值;
(3)在(2)的条件下,解不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0.
答案
(1)证明;设x
1
<x
2
,则f(x
1
)-f(x
2
)=
2
2
x
1
+1
-
2
2
x
2
+1
=
2
x
2
-
2
x
1
(
2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)
∵y=2
x
在实数集上是增函数且函数值恒大于0,故
2
x
2
-
2
x
1
>0,
2
x
1
+1
>0,
2
x
2
+1
>0.
即f(x
1
)-f(x
2
)>0.
∴f(x)在R上是单调减函数
(2)由(1)的f(x)在R上是单调减函数,即函数定义域为R,
∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0⇒a=-1.
(3)有(1)(2)可得f(x)在R上是单调减函数且是奇函数
∴f(2t+1)+f(t-5)≤0.转化为f(2t+1)≤-f(t-5)=f(-t+5),⇒2t+1≥-t+5⇒t≥
4
3
故所求不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0的解集为:{t|t≥
4
3
}.
举一反三
已知
f(x)=
1
2
x
+1
+m
是奇函数,则f(-1)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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设函数y=f(x)定义在R上,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n)且当x>0时,0<f(x)<1
(1)求证:f(0)=1 且当x<0时,f(x)>1
(2)求证:f(x)在R上是减函数.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设
f(x)=
2
e
x-1
,x<2
log
3
1
(
x
2
-1)
,x≥2
则f(f(2))的值为( )
A.2e
B.2e
2
C.2
D.
2
e
2
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
函数y=|x-2|的单调递减区间为( )
A.(-∞,2]
B.[2,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.[0,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
函数y=f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是单调递增的,f(-3)=0,则不等式xf(x)>0的解集为( )
A.{x|x<-3,或0<x<3}
B.{x|-3<x<0,或x>3}
C.{x|x<-3,或x>3}
D.{x|-3<x<0,或0<x<3}
题型:单选题
难度:一般
|
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