设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1
（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1
（2）求证：f（x）在R上是减函数． |
答案
证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．
∴f（0）=1．
令m=x＜0，n=-x＞0，
则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，
∴f（-x）f（x）=1，
又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，
∴f(x)=＞1．
（2）设x1＜x2，则x1-x2＜0，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减． |
举一反三
函数y=|x-2|的单调递减区间为（ ）| A．（-∞，2] | B．[2，+∞） | C．（-∞，+∞） | D．[0，+∞） |
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函数y=f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是单调递增的，f（-3）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）| A．{x|x＜-3，或0＜x＜3} | B．{x|-3＜x＜0，或x＞3} | | C．{x|x＜-3，或x＞3} | D．{x|-3＜x＜0，或0＜x＜3} |
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| 已知函数f（x）=|x-1|-|x-a|，（x∈R）是奇函数，且f（x）不恒为0，则a2012=______． |
| 已知f(x)=x2，g(x)=()x-m，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是______． |
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