(1)因为函数f(x)=,g(x)=ax3+cx2+bx+d都是奇函数, 所以f(-x)=-f(x), ∴=- 解得c=0…(1分) 由g(-x)=-g(x)可得-ax3+cx2-bx+d=-ax3-cx2-bx-d ∴d=0…(2分) ∴f(x)=,g(x)=ax3+bx 由f(1)==2得a=2b-1,…(3分) 代入f(x)中得f(x)=, ∵f(2)=<3,即4-<3, ∴>1,所以b>0,由此可解得:0<b<…(4分) 考虑到a,b,c,d∈Z,所以b=1,所以a=2b-1=1,…(5分) 综上知:a=1,b=1,c=0,d=0.…(6分) 证明(2)∵a=1,b=1,c=0,d=0,所以函数g(x)=x3+x, 任取x1,x2∈R,且x1<x2,…(1分)
| g(x2)-g(x1)=(x23-x13)+(x2-x1)=(x2-x1)(x22+x2x1+x12)+(x2-x1) | =(x2-x1)[(x22+x2x1+x12)+x12+1]=(x2-x1)[(x2+x1)2+x12+1] |
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∵x2-x1>0,(x2+x1)2+x12+1>0,(如中间没配方,则-2分) ∴g(x2)>g(x1), ∴g(x)在R上是增函数.…(4分) |