设关于x的函数f（x）=4x-2x+1-b（b∈R），（1）若函数有零点，求实数b的取值范围；（2）当函数有零点时，讨论零点的个数，并求出函数的零点．

题型：解答题难度：一般来源：不详

设关于x的函数f（x）=4^x-2^x+1-b（b∈R），
（1）若函数有零点，求实数b的取值范围；
（2）当函数有零点时，讨论零点的个数，并求出函数的零点．

答案

（1）原函数零点即方程）=4^x-2^x+1-b=0 的根．
化简方程为b=4^x-2^x+1=2^2x-2•2^x=（2^x-1）²-1≥-1，
故当b的范围为[-1，+∞）时函数存在零点．
（2）①当b=-1 时，2^x=1，∴方程有唯一解x=0．
②当 0＞b＞-1 时，∵（2^x-1）²=1+b＞0，可得 2^x=1+

1+b

，或2^x=1-

1+b

，
解得 x=log2(1+

1+b

)，或x=log2(1-

1+b

)，故此时方程有2个解．…（9分）
③当b≥0时，∵（2^x-1）²=1+b＞1，可得 2^x=1+

1+b

，或2^x=1-

1+b

（舍去），
解得 x=log2(1+

1+b

)，故此时方程有唯一解．
④当b＜-1时，∵（2^x-1）²=1+b＜0，2^x 无解，原方程无解．
综上可得，1）当-1＜b＜0时原方程有两x=log2(1+

1+b

)，或x=log2(1-

1+b

)；
2）当 b≥0 时，方程有唯一解 x=log2(1+

1+b

)，当b=-1 时，原方程有唯一解 x=0；
3）当b＜-1 时，原方程无解．