已知函数f(x)=x+ax(a＞0)．（1）若不等式f（x）＜b的解集是（1，3），求不等式ax2-bx+1＜0的解集；（2）若f（1）=f（2），证明f（x）

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已知函数f(x)=x+ax(a＞0)．（1）若不等式f（x）＜b的解集是（1，3），求不等式ax2-bx+1＜0的解集；（2）若f（1）=f（2），证明f（x）

题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f(x)=x+
a
x
(a＞0)．（1）若不等式f（x）＜b的解集是（1，3），求不等式ax2-bx+1＜0的解集；（2）若f（1）=f（2），证明f（x）在（0，


2
]上是单调递减函数．
答案
（1）∵不等式f（x）＜b的解集是（1，3）即x+
a
x
＜b的解集为（1，3）
∴x=1，x=3是x+
a
x
=b  的根，
∴a=3，b=4
∴ax2-bx+1=3x2-4x+1＜0的解集为{x|
1
3
＜x＜1}
（2）由f（1）=f（2）可得，1+a=2+
a
2

∴a=2，f（x）=x+
2
x

设0＜x1＜x2≤


2

则f（x1）-f（x2）=x1+
2
x1
-x2-
2
x2
=（x1-x2）+
2(x2-x1)
x1x2

=
(x1-x2)(x1x2-2) 
x1x2

∵0＜x1＜x2≤


2
∴x1x2＞0，x1-x2＜0，x1x2-2＜0
∴f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）=x+
2
x
在（0，


2
]单调递减
举一反三
函数y=
2
1-x
在区间[2，6]上的最大值和最小值分别是______．
题型：填空题难度：一般| 查看答案
设函数y=f（x）的图象与y=2x的图象关于直线x-y=0对称，则函数y=f（6x-x2）的递增区间为______．
题型：填空题难度：简单| 查看答案
函数f（x）满足：（1）定义域是（0，+∞）；（2）当x＞1时，f（x）＜2；（3）对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．则
（1）求出f（1）的值；
（2）写出一个满足上述条件的具体函数；
（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
已知函数f(x)=
x-c
x+1
，其中c为常数，且函数f（x）图象过原点．
（1）求c的值；
（2）证明函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数；
（3）已知函数g(x)=f(ex)-
1
3
，求函数g（x）的零点．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
定义在R上的函数f（x）满足f(
1
2
+x)+f(
1
2
-x)=2，则f(
1
8
)+f(
2
8
)+f(
3
8
)+…+f(
7
8
)=______．
题型：填空题难度：简单| 查看答案
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