函数f(x)满足:(1)定义域是(0,+∞);(2)当x>1时,f(x)<2;(3)对任意x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y)-2.则(1)
题型:解答题难度:一般来源:不详
函数f(x)满足:(1)定义域是(0,+∞);(2)当x>1时,f(x)<2;(3)对任意x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y)-2.则 (1)求出f(1)的值; (2)写出一个满足上述条件的具体函数; (3)判断函数f(x)的单调性,并用定义加以证明. |
答案
(1)由题意对任意x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y)-2. 令x=y=1,可得f(1)=2f(1)-2∴f(1)=2 (2)f(x)=logx+2 (3)设0<x1<x2,则>1 由已知x>1时,f(x)<2可得,f()<2 ∴f(x2)=f(•x1)=f()+f(x1)-2<2+f(x1)-2=f(x1) 即f(x2)<f(x1) ∴函数f(x)在(0,+∞)单调递减 |
举一反三
已知函数f(x)=,其中c为常数,且函数f(x)图象过原点. (1)求c的值; (2)证明函数f(x)在[0,2]上是单调递增函数; (3)已知函数g(x)=f(ex)-,求函数g(x)的零点. |
定义在R上的函数f(x)满足f(+x)+f(-x)=2,则f()+f()+f()+…+f()=______. |
已知函数f(x)=,若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是______. |
函数f(x)=,则f(-2)=______,f[f(-2)]=______. |
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