已知函数f(x)=log4(4x+1)-(k-1)x(x∈R)为偶函数.(1)求常数k的值;(2)当x取何值时函数f(x)的值最小?并求出f(x)的最小值;(3
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已知函数f(x)=log4(4x+1)-(k-1)x(x∈R)为偶函数.(1)求常数k的值;(2)当x取何值时函数f(x)的值最小?并求出f(x)的最小值;(3
题型:解答题
难度:一般
来源:闵行区一模
已知函数f(x)=log
4
(4
x
+1)-(k-1)x(x∈R)为偶函数.
(1)求常数k的值;
(2)当x取何值时函数f(x)的值最小?并求出f(x)的最小值;
(3)设
g(x)=lo
g
4
(a•
2
x
-
4
3
a)
(a≠0),且函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
答案
(1)∵f(x)为偶函数,
故log
4
(4
-x
+1)+(k-1)x=log
4
(4
x
+1)-(k-1)x对所有x∈R都成立,(2分)
即(2k-3)x=0对所有x∈R都成立,
∴
k=
3
2
.(4分)
(2)由(1)得
f(x)=lo
g
4
(
4
x
+1)-
x
2
,即
f(x)=lo
g
4
4
x
+1
2
x
.(2分)
lo
g
4
(
2
x
+
1
2
x
)≥lo
g
4
2=
1
2
,
故当且仅当x=0时,(3分)
f(x)的最小值是
1
2
.(5分)
(3)由方程
lo
g
4
(
4
x
+1)-
x
2
=lo
g
4
(a•
2
x
-
4
3
a)
(*)
可变形为
4
x
+1
2
x
=a•
2
x
-
4
3
a①
a•
2
x
-
4
3
a>0②
,由②得
a>0
2
x
>
4
3
或
a<0
2
x
<
4
3
,
令2
x
=t,则
a>0
t>
4
3
,或
a<0
0<t<
4
3
由①得
(a-1)(
2
x
)
2
-
4
3
a•
2
x
-1=0
,设
h(t)=(a-1)
t
2
-
4
3
at-1
(2分)
∴当a>0时,
(a-1)h(
4
3
)<0⇒a>1
,(4分)
当a<0时,h(0)=-1<0,
∴
h(
4
3
)>0⇒a
不存在,
当
△=(-
4
3
a
)
2
+4(a-1)=0
时,
a=
3
4
或a=-3,
若
a=
3
4
,则t=-2,不合题意,舍去,若a=-3,则
t=
1
2
,满足题意,(5分)
∴当a=-3或a>1时,函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点.(7分)
举一反三
函数
y=
2
2x-
x
2
的单调递增区间是( )
A.(-∞,1]
B.(0,1]
C.[1,+∞]
D.[1,2)
题型:单选题
难度:一般
|
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函数y=x
2
+|x-a|+b在区间(-∞,0]上为减函数,则a的取值范围是( )
A.a≥0
B.a≤0
C.a≥1
D.a≤1
题型:单选题
难度:简单
|
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若函数
f(x)=
x+2a
x-1
在区间(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知数列{a
n
}中,a
1
=1,且点P(a
n
,a
n+1
)(n∈N
*
)在直线x-y+1=0上.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若函数
f(n)=
1
n+
a
1
+
1
n+
a
2
+
1
n+
a
3
+…+
1
n+
a
n
(n∈N,且n≥2)
,求函数f(n)的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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(2)当x>a时,f(x)是递增函数;
(3)当0≤x≤a时,f(x)的最大值为
a
2
4
+b.
其中正确的序号是 ______.
题型:填空题
难度:简单
|
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