已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若函数f(n)=1n+a1+1n

已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若函数f(n)=1n+a1+1n

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若函数f(n)=
1
n+a1
+
1
n+a2
+
1
n+a3
+…+
1
n+an
(n∈N,且n≥2)
,求函数f(n)的最小值.
答案
(1)由点P(an,an+1)在直线x-y+1=0上,
即an+1-an=1,且a1=1,数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,
an=1+(n+1)•1=n(n≥2),a1=1同样满足,
所以an=n.
(2)f(n)=
1
n+1
+
1
n+2
++
1
2n
f(n+1)=
1
n+2
+
1
n+3
+
1
n+4
+
1
2n+1
+
1
2n+2
f(n+1)-f(n)=
1
2n+1
+
1
2n+2
-
1
n+1
1
2n+2
+
1
2n+2
-
1
n+1
=0

所以f(n)是单调递增,
故f(n)的最小值是f(2)=
7
12
举一反三
已知函数f(x)=|x-a|x+b(a,b∈R),给出下列命题:
(1)当a=0时,f(x)的图象关于点(0,b)成中心对称;
(2)当x>a时,f(x)是递增函数;
(3)当0≤x≤a时,f(x)的最大值为
a2
4
+b.
其中正确的序号是 ______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
设函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又f(x)在[2,+∞)是减函数,且f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是(  )
A.a≥2B.a<0C.0≤a≤4D.a<0或a≥4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
(理科做)函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,向左平移一个长度单位后仍关于直线y=x对称,若f(1)=0,则f(2011)=(  )
A.-2010B.2010C.-2011D.2011
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=





x-3  x≥100
f(x+5),x<100
,则f(89)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(cosx)=cos3x,则f(sinx)等于(  )
A.-sin3xB.-cos3xC.cos3xD.sin3x
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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