已知函数f(x)=lnx,g(x)=12ax2+bx (a≠0).(Ⅰ)若a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域是增函数,求b的取值范围;(Ⅱ)
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已知函数f(x)=lnx,g(x)=12ax2+bx (a≠0).(Ⅰ)若a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域是增函数,求b的取值范围;(Ⅱ)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=lnx,g(x)=
1
2
a
x
2
+bx (a≠0).
(Ⅰ)若a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域是增函数,求b的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设函数φ(x)=e
2x
+be
x
,x∈[0,ln2],求函数φ(x)的最小值;
答案
(Ⅰ)由题设知:h(x)=lnx+x
2
-bx,且在(0,+∞)上是增函数,
∵
h′(x)=
1
x
+2x-b
∴
1
x
+2x-b≥0
即
b≤
1
x
+2x
对x∈(0,+∞)恒成立,
∵x>0,有
1
x
+2x≥2
2
.
∴
b的取值范围为(-∞,2
2
].
(7分)
(Ⅱ)设t=e
x
,则函数化为φ(x)=F(t)=t
2
+bt,t∈[1,2].∵
F(t)=(t+
b
2
)
2
-
b
2
4
.
∴当
-
b
2
≤1
即
-2≤b≤2
2
时,F(t)在[1,2]上为增函数,[φ(x)]
min
=F(1)=b+1;
当
1<-
b
2
<2
即-4<b<-2时,
[φ(x)
]
min
=F(-
b
2
)=-
b
2
4
;
当
-
b
2
≥2
即b≤-4时,F(t)在[1,2]上为减函数,[φ(x)]
min
=F(2)=2b+4;
∴
[φ(x)
]
min
=
b+1 x∈[-2,2
2
]
-
b
2
4
x∈(-4,-2)
2b+4 x∈(-∞,-4]
(14分)
举一反三
已知f(x)是R上的增函数,点A(-2,1)、B(2,3)在它的图象上,那么,不等式|f
-1
(x)|<2的解集是( )
A.{x|-1<x<1}
B.{x|-2<x<2}
C.{x|-2<x<3}
D.{x|1<x<3}
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
函数f(x)=|x|-|x-3|的最大值为 ______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
函数f(x)=(x-2)
2
,则f′(1)=( )
A.-2
B.2
C.1
D.-1
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=log
4
(4
x
+1)-(k-1)x(x∈R)为偶函数.
(1)求常数k的值;
(2)当x取何值时函数f(x)的值最小?并求出f(x)的最小值;
(3)设
g(x)=lo
g
4
(a•
2
x
-
4
3
a)
(a≠0),且函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数
y=
2
2x-
x
2
的单调递增区间是( )
A.(-∞,1]
B.(0,1]
C.[1,+∞]
D.[1,2)
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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