已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且f(4)=4,则f(2012)=(  )A.0

已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且f(4)=4,则f(2012)=(  )A.0

题型:单选题难度:简单来源:不详
已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且f(4)=4,则f(2012)=(  )
A.0B.-4C.-8D.-16
答案
因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,
即函数y=f(x)是奇函数,
令x=-3得,f(-3+6)+f(-3)=2f(3),即f(3)-f(3)=2f(3),解得f(3)=0.
所以f(x+6)+f(x)=2f(3)=0,即f(x+6)=-f(x),
所以f(x+12)=f(x),即函数的周期是12.
所以f(2012)=f(12×168-4)=f(-4)=-f(4)=-4.
故选B.
举一反三
设f(sinα+cosα)=sin2α,则f(
1
3
)
的值为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=x+
2a
x

(Ⅰ)判断并证明函数的奇偶性;
(Ⅱ)若a=2,证明函数f(x)在(2,+∞)上单调递增;
(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,解不等式f(t2+2)+f(-2t2+4t-5)<0.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=2x3+x+sinx+1,若f(a)+f(a+1)>2,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知a,b,c∈R,且a>b,则下列结论一定正确的是(  )
A.a2>b2B.
1
a
1
b
C.2a>2bD.ac2>bc2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)在上R恒有f(x)<
1
2
,则不等式f(x)<
x
2
+
1
2
的解集为(  )
A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(-1,1)D.(-∞,1)∪(1,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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