函数f(x)=x+2ax(Ⅰ)判断并证明函数的奇偶性;(Ⅱ)若a=2,证明函数f(x)在(2,+∞)上单调递增;(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,解不等式f(t2+2
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函数f(x)=x+2ax(Ⅰ)判断并证明函数的奇偶性;(Ⅱ)若a=2,证明函数f(x)在(2,+∞)上单调递增;(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,解不等式f(t2+2
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
函数
f(x)=x+
2a
x
(Ⅰ)判断并证明函数的奇偶性;
(Ⅱ)若a=2,证明函数f(x)在(2,+∞)上单调递增;
(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,解不等式f(t
2
+2)+f(-2t
2
+4t-5)<0.
答案
(I)该函数为奇函数.
证明:函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,
且f(-x)=
-x+
a
-x
=-(x+
a
x
)=-f(x)
,
故函数f(x)为奇函数.
(II)当a=2时,f(x)=
x+
4
x
.
∀2<x
1
<x
2
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=
(
x
1
+
4
x
1
)-(
x
2
+
4
x
2
)
=
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
x
2
-4)
x
1
x
2
.
∵2<x
1
<x
2
,∴x
1
-x
2
<0,x
1
x
2
>4,即x
1
x
2
-4>0.
∴
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
x
2
-4)
x
1
x
2
<0,
∴f(x
1
)<f(x
2
),函数f(x)在(2,+∞)上单调递增.
(III)∵f(x)为奇函数,∴f(t
2
+2)<-f(-2t
2
+4t-5)=f(2(t-1)
2
+3),
∵t
2
+2≥2,2(t-1)
2
+3>2,函数f(x)在(2,+∞)上单调递增,
∴t
2
+2<2t
2
-4+5,
化为t
2
-4t+3>0,解得t<1或t>3.
举一反三
已知函数f(x)=2x
3
+x+sinx+1,若f(a)+f(a+1)>2,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知a,b,c∈R,且a>b,则下列结论一定正确的是( )
A.a
2
>b
2
B.
1
a
<
1
b
C.2
a
>2
b
D.ac
2
>bc
2
题型:单选题
难度:一般
|
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已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)在上R恒有
f
′
(x)<
1
2
,则不等式
f(x)<
x
2
+
1
2
的解集为( )
A.(1,+∞)
B.(-∞,1)
C.(-1,1)
D.(-∞,1)∪(1,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
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给定函数①y=
x
1
2
;②y=
lo
g
1
2
(x+1);③y=2
x-1
;④y=x+
1
x
;其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=log
2
(2
x
+1).
(1)求证:函数f(x)定义域内单调递增;
(2)记g(x)=log
2
(
2
x
-1)
.若关于x的方程g(x)=m+f(x)在[1,2]上有解,求m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
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