设函数f(x)=a•2x+a-22x+1为奇函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）利用函数单调性的定义判断f（x）在其定义域上的单调性．

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

为奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）利用函数单调性的定义判断f（x）在其定义域上的单调性．

答案

（I）由题意可得函数的定义域为R
∵f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

为奇函数
∴f（-x）=-f（x）对任意的x都成立
∴f（0）=-f（0）即f（0）=0
∴a•2⁰+a-2=0
∴a=1
（II）由（I）可得f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2x+1

设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=1-

2x1+1

-1+

2x2+1

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂
∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）得f（x）=

2x-1

2x+1

在R上单调递增

举一反三

某工厂为某工地生产容器为

π(米3)的无盖圆柱形容器，容器的底面半径为r（米），而且制造底面的材料每平方米为30元，制造容器的材料每平方米为20元，设计时材料的厚度可忽略不计．
（1）制造容器的成本y（元）表示成r的函数；
（2）工地要求容器的底面半径r∈[2，3]（米），问如何设计容器的尺寸，使其成本最低？，最低成本是多少？（精确到元）

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设f（n）为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如f（123）=1²+2²+3²．记f₁（n）=f（n），f_k+1（n）=f[f_k（n）]（k=1，2，3，…），则f₂₀₀₇（2007）=______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

已知f（x）是奇函数，在（-1，1）上是减函数，且满足f（1-a）+f（1-a²）＜0，求实数a的范围．

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某公司欲将一批不易存放的蔬菜，急需从A地运到B地，有汽车、火车、直升飞机三种运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：

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