若实数a≠0，函数f（x）=-2ax3-ax2+12ax+1，g（x）=2ax2+3．（1）令h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的极值；（2）若在区间
题型：解答题难度：一般来源：西安二模
若实数a≠0，函数f（x）=-2ax3-ax2+12ax+1，g（x）=2ax2+3．
（1）令h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的极值；
（2）若在区间（0，+∞）上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围． |
答案
（1）∵h（x）=f（x）-g（x）=-2ax3-3ax2+12ax-2
∴h"（x）=-6ax2-6ax+12a=-6a（x+2）（x-1）
令h"（x）=0，∴x=-2或x=1
若a＞0，当x＞-2时，h"（x）＞0；当x＜-2时，h"（x）＜0
∴x=-2是函数h（x）的极小值点，极小值为h（-2）=-20a-2；
当x＞1时，h"（x）＜0；当x＜1时，h"（x）＞0
∴x=1是函数h（x）的极大值点，极大值为h（1）=7a-2
若a＜0，易知，x=-2是函数h（x）的极大值点，极大值为h（-2）=-20a-2；x=1是函数h（x）的极小值点，
极小值为h（1）=7a-2
（2）若在（0，+∞）上至少存在一点x0使得f（x0）＞g（x0）成立，
则f（x）＞g（x）在（0，+∞）上至少存在一解，即h（x）＞0在（0，+∞）上至少存在一解
由（1）知，当a＜0时，函数h（x）在区间（0，+∞）上递增，且极小值为h（1）=7a-2＜0
∴此时h（x）＞0在（0，+∞）上至少存在一解；
当a＞0时，函数h（x）在区间（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
∴要满足条件应有函数h（x）的极大值h（1）=7a-2＞0，即a＞
综上，实数a的取值范围为a＜0或a＞． |
举一反三
| 函数y=xa2-2a-3是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的取值为______． |
| 已知函数f(x)=若f(f(x0))=2，则x0=______． |
| 己知f(x-1)=2x+3，f(m)=6，则m等于（ ） |
已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有＞0．给出下列命题：
①f（3）=0；
②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；
④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为______（把所有正确命题的序号都填上） |
| 已知函数f(x)=在（-∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为______ |
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