对于函数f(x)=2x•ex,x≤0x2-2x+12,x>0有下列命题:①在该函数图象上一点(-2,f(-2))处的切线的斜率为-2e2;②函数f(x)的最小值
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对于函数f(x)=2x•ex,x≤0x2-2x+12,x>0有下列命题:①在该函数图象上一点(-2,f(-2))处的切线的斜率为-2e2;②函数f(x)的最小值
题型:填空题
难度:一般
来源:不详
对于函数
f(x)=
2x•
e
x
,x≤0
x
2
-2x+
1
2
,x>0
有下列命题:
①在该函数图象上一点(-2,f(-2))处的切线的斜率为
-
2
e
2
;
②函数f(x)的最小值为
-
2
e
;
③该函数图象与x轴有4个交点;
④函数f(x)在(-∞,-1]上为减函数,在(0,1]上也为减函数.
其中正确命题的序号是______.
答案
x≤0时,f(x)=2xe
x
,f′(x)=2(1+x)e
x
,故f′(-2)=
-
2
e
2
,①正确;
且f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,故x≤0时,f(x)有最小值f(-1)=
-
2
e
,
x>0时,f(x)=
x
2
-2x+
1
2
在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故x>0时,f(x)有最小值f(1)=
-
1
2
>-
2
e
故f(x)有最小值
-
2
e
,②④正确;因为x<0时,f(x)恒小于0,且f(x)=0,故该函数图象与x轴有3个交点,③错误;
故答案为:①②④
举一反三
已知f(x)=ln(
e
x
-
e
-x
2
),则下列正确的是( )
A.非奇非偶函数,在(0,+∞)上为增函数
B.奇函数,在R上为增函数
C.非奇非偶函数,在(0,+∞)上为减函数
D.偶函数,在R上为减函数
题型:单选题
难度:简单
|
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对于函数f(x),若存在x
0
∈R,使f(x
0
)=x
0
成立,则称x
0
为f(x)的不动点.如果函数
f(x)=
x
2
+a
bx-c
(b,c∈N*)
有且仅有两个不动点0、2,且
f(-2)<-
1
2
.
(1)试求函数f(x)的单调区间;
(2)已知各项不为零的数列{a
n
}满足
4
S
n
•f(
1
a
n
)=1
,求证:
-
1
a
n+1
<ln
n+1
n
<-
1
a
n
;
(3)设
b
n
=-
1
a
n
,T
n
为数列{b
n
}的前n项和,求证:T
2008
-1<ln2008<T
2007
.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=log
2
(a
x
-4b
x
+6),满足f(1)=1,f(2)=log
2
6,a,b为正实数.则f(x)的最小值为( )
A.-6
B.-3
C.0
D.1
题型:单选题
难度:一般
|
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若实数a≠0,函数f(x)=-2ax
3
-ax
2
+12ax+1,g(x)=2ax
2
+3.
(1)令h(x)=f(x)-g(x),求函数h(x)的极值;
(2)若在区间(0,+∞)上至少存在一点x
0
,使得f(x
0
)>g(x
0
)成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数y=x
a2-2a-3
是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则整数a的取值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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