平面上有四点A、B、Q、P，其中A、B为定点，且|AB|=3，P、Q为动点，满足|AP|=|PQ|=|QB|=1，△APB和△PQB的面积分别为m、n．（1）求

题型：解答题难度：一般来源：不详

平面上有四点A、B、Q、P，其中A、B为定点，且|AB|=

3

，P、Q为动点，满足|AP|=|PQ|=|QB|=1，△APB和△PQB的面积分别为m、n．
（1）求∠A=30°，求∠Q
（2） 求m²+n²的最大值．

答案

（1）由余弦定理得PB²=1+3-2

3

cosA，PB²=1+1-2cosQ
∴4-2

3

cosA=2-2cosQ，由A=30°求得cosQ=

1

2

∴Q=60
（2）m²+n²=（

1

2

×1×

3

sinA）²+（

1

2

×1×1×sinQ）²=

3

4

sin²A+

1

4

（1-cos²Q）=-

3

2

（cosA-

3

6

）²+

7

8

∴当cosA=

3

6

时，m²+n²的最大值为

7

8