已知函数f(x)=x+ax+2,x∈[1,+∞).(Ⅰ)当a=12时,利用函数单调性的定义判断并证明f(x)的单调性,并求其值域;(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)
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已知函数f(x)=x+ax+2,x∈[1,+∞).(Ⅰ)当a=12时,利用函数单调性的定义判断并证明f(x)的单调性,并求其值域;(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=x+
a
x
+2,x∈[1,+∞)
.
(Ⅰ)当
a=
1
2
时,利用函数单调性的定义判断并证明f(x)的单调性,并求其值域;
(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0,求实数a的取值范围.
答案
(Ⅰ)任取x
1
,x
2
∈[1,+∞),且x
1
<x
2
,
则△x=x
2
-x
1
>0,
△y=f(
x
2
)-f(
x
1
)=
x
2
+
a
x
2
+2-
x
1
-
a
x
1
-2
=
(
x
2
-
x
1
)(1-
a
x
1
x
2
)
,…(2分)
当
a=
1
2
时,f(
x
2
)-f(
x
1
)=(
x
2
-
x
1
)(1-
1
2
x
1
x
2
)
,
∵1≤x
1
<x
2
,∴
x
2
-
x
1
>0,1-
1
2
x
1
x
2
>0
,恒成立
∴△y>0,
∴f(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴当x=1时,f(x)取得最小值为
f(1)=1+
1
2
+2=
7
2
,
∴f(x)的值域为
[
7
2
,+∞)
.
(Ⅱ)
f(x)=x+
a
x
+2可变为f(x)=
x
2
+2x+a
x
,
∵对任意
x∈[1,+∞),f(x)=
x
2
+2x+a
x
>0
,恒成立
∴只需对任意x∈[1,+∞),x
2
+2x+a>0恒成立.
设g(x)=x
2
+2x+a,x∈[1,+∞),
∵g(x)的对称轴为x=-1,∴只需g(1)>0便可,g(1)=3+a>0,
∴a>-3.
举一反三
函数
y=lo
g
0.6
(6+x-
x
2
)
的单调增区间是( )
A.
(-∞,
1
2
]
B.
[
1
2
,+∞)
C.
(-2,
1
2
]
D.
[
1
2
,3)
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知
f(x)=
3x+1,x≥0
x
2
,x<0
,则
f(-
2
)
=( )
A.2
B.-2
C.3
2
+1
D.-3
2
+1
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知函数f(x)=log
2
1+x
1-x
,
(1)求f(
3
5
)和f(-
3
5
);
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设二次函数f(x)=x
2
-x+a,若f(-t)<0,则f(t+1)的值( )
A.是正数
B.是负数
C.是非负数
D.正负与t有关
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=log
5
x,则算出f(3)+f(
25
3
)的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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