已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,22).(1)求函数f(x)的解析式;(2)记g(x)=f(x)+x,判断g(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明之.
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已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,22).(1)求函数f(x)的解析式;(2)记g(x)=f(x)+x,判断g(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明之.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知幂函数y=f(x)的图象过点
(
2
,
2
2
)
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)记g(x)=f(x)+x,判断g(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明之.
答案
(1)由题意令y=f(x)=x
a
,由于图象过点(
2
,
2
2
),
得
2
2
=
2
a
,a=-1
∴y=f(x)=x
-1
(2)g(x)=f(x)+x=x+
1
x
函数
g(x)=x+
1
x
在区间(1,+∞)上是增函数,
证明:任取x
1
、x
2
使得x
1
>x
2
>1,
都有
g(
x
1
)-g(
x
2
)=(
x
1
+
1
x
1
)-(
x
2
+
1
x
2
)=
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
x
2
-1)
x
1
x
2
由x
1
>x
2
>1得,x
1
-x
2
>0,x
1
x
2
>0,x
1
x
2
-1>0,
于是g(x
1
)-g(x
2
)>0,即g(x
1
)>g(x
2
),
所以,函数
g(x)=x+
1
x
在区间(1,+∞)上是增函数.
举一反三
已知函数
f(x)=a-
2
2
x
+1
,
g(x)=
1
f(x)-a
.
(1)若函数f(x)为奇函数,求a的值;
(2)若g(2x)-a•g(x)=0,有唯一实数解,求a的取值范围;
(3)若a=2,则是否存在实数m,n(m<n<0),使得函数y=f(x)的定义域和值域都为[m,n].若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
下列函数中同时满足(1)在区间
(0,
π
2
)
上是增函数;(2)以π为周期;(3)是偶函数,三个条件的是( )
A.y=tanx
B.y=e
-cosx
C.y=sin|x|
D.y=|sinx|
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)=ax+bsinx+1,若f(5)=7,则f(-5)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
若二次函数f(x)=ax
2
+bx+c的对称轴为x=1,且其图象过点(2,0),则
f(-1)
f(1)
的值是( )
A.-3
B.-2
C.2
D.3
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
若函数
f(x)=
tanx,x≥0
lo
g
2
(-x),x<0
则
f(2f(
3π
4
))
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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