已知函数f(1x)=2x2+x+ax,其中x∈(0,1](Ⅰ)当a=12时,求f(x)的最小值;(Ⅱ)在定义域内,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
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已知函数f(1x)=2x2+x+ax,其中x∈(0,1](Ⅰ)当a=12时,求f(x)的最小值;(Ⅱ)在定义域内,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(
1
x
)=
2
x
2
+x+a
x
,其中x∈(0,1]
(Ⅰ)当a=
1
2
时,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)在定义域内,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
答案
由题意知
∵
f(
1
x
)=
2
x
2
+x+a
x
,x∈(0,1]
设t=
1
x
∈[1,+∞),可求得函数f(x)的解析式为f(x)=
ax+
2
x
+1
定义域为x∈[1,+∞)
(Ⅰ)当a=
1
2
时,f(x)=
1
2
(x+
4
x
)+1
x∈[1,+∞)
用定义证明f(x)的单调性如下:
设1≤x
1
<x
2
≤2,则f(x
1
)-f(x
2
)=
1
2
(
x
1
+
4
x
1
)-
1
2
(
x
2
+
4
x
2
)
=
1
2
(
x
1
-
x
2
)(1-
4
x
1
x
2
)
,
∵1≤x
1
<x
2
≤2
∴f(x
1
)-f(x
2
)>0
故f(x)在[1,2]上单调递减.同理可证f(x)在[2,+∞)上单调递增.
∴f(x)的最小值为f(2)=3.
(Ⅱ)∵x∈[1,+∞),f(x)=
ax+
2
x
+1
=
a
x
2
+x+2
x
>0
恒成立
∴等价于当x∈[1,+∞),ax
2
+x+2>0恒成立即可
∴a>
-x-2
x
2
在x∈[1,+∞)恒成立 又
1
x
∈(0,1]
令g(x)=
-x-2
x
2
=-2(
1
x
)
2
-
1
x
=-2(
1
x
+
1
4
)
2
+
1
8
即g(x)∈[-3,0)
∴a≥0
故a的取值范围[0,+∞).
举一反三
设a是整数,0≤b≤1,若a
2
=2b(a+b),则b值为______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知f(x)=
x
2
x>0
π x=0
0 x<0
,则f[f (-3)]等于( )
A.0
B.π
C.π
2
D.9
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知函数f(x)=
2
x
+
2
-x
2
,g(x)=
2
x
-
2
-x
2
,
(1)计算:[f(1)]
2
-[g(1)]
2
;
(2)证明:[f(x)]
2
-[g(x)]
2
是定值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
x-6
x+2
,
(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗?
(2)当x=14时,求f(x)的值;
(3)当f(x)=3时,求x的值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=
tanx(x≥0)
lg(-x)(x<0)
,则f(
π
4
)•f(-100)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
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