定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（1）；（2）证明f（x）在（0，+∞）上单调递减；

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）若关于x的不等式f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1）恒成立，求实数k的取值范围．

答案

（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
则F（1）=2f（1）
∴f（1）=0；           （5分）
证明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）
可得f(

y

x

)=f(y)-f(x)，
设x₁＞x₂＞0，f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

)，

x1

x2

＞1，
∴f(

x1

x2

)＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；（10分）
（3）因为f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1），
所以f（k•3^x）≥f（9^x-3^x+1），由（2）得

k•3x≤9x-3x+1 k•3x＞0

（*）恒成立，
令t=3^x＞0，则（*）可化为t²-（k+1）t+1≥0对任意t＞0恒成立，且k＞0，
∴（k+1）²-4≤0
∴0＜k≤1．（15分）