定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1);(2)证明f(x)在(0,+∞)上单调递减;
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)<0. (1)求f(1); (2)证明f(x)在(0,+∞)上单调递减; (3)若关于x的不等式f(k•3x)-f(9x-3x+1)≥f(1)恒成立,求实数k的取值范围. |
答案
(1)∵f(xy)=f(x)+f(y), 令x=y=1, 则F(1)=2f(1) ∴f(1)=0; (5分) 证明:(2)由f(xy)=f(x)+f(y) 可得f()=f(y)-f(x), 设x1>x2>0,f(x1)-f(x2)=f(),>1, ∴f()<0,即f(x1)-f(x2)<0 ∴f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;(10分) (3)因为f(k•3x)-f(9x-3x+1)≥f(1), 所以f(k•3x)≥f(9x-3x+1),由(2)得(*)恒成立, 令t=3x>0,则(*)可化为t2-(k+1)t+1≥0对任意t>0恒成立,且k>0, ∴(k+1)2-4≤0 ∴0<k≤1.(15分) |
举一反三
设函数f(x)=,若f(α)=4,则实数α为______. |
已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有f(+x)+f(-x)=2成立,则f()+f()+…+f()=______. |
已知函数f(x)=xm-,且f(4)=. (1)求m的值; (2)判定f(x)的奇偶性; (3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. |
已知b、c是实数,函数f(x)=x2+bx+c对任意α、β∈R有f(sinα)≥0且f(2+cosβ)≤0. (1)求f(1)的值; (2)证明:c≥3. |
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