设函数f（x）=lg（x+x2+1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）证明函数f（x）在其定义域上是单调增函数；

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=lg（x+

x2+1

）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）证明函数f（x）在其定义域上是单调增函数；

答案

（1）它是奇函数．
由

x+ x2+1 ＞0 x2+1≥0

得x∈R，
即所给函数的定义域为R，显然它关于原点对称，
又∵f(-x)=lg(-x+

x2+1

)=lg(x+

x2+1

)-1=-lg(x+

x2+1

)=-f(x)
∴函数f（x）是奇函数．
（2）证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=lg

x1+ x12+1

x2+ x22+1

．
令t=x+

x2+1

，则t₁-t₂=（x₁+

x12+1

）-（x₂+

x22+1

）
=（x₁-x₂）+（

x12+1

-

x22+1

）=（x₁-x₂）+

(x1-x2)(x1+x2)

x12+1 + x22+1

．

=

(x1-x2)( x12+1 + x22+1 +x1+x2)

x12+1 + x22+1

∵x₁-x₂＜0，

x12+1

+x₁＞0，

x22+1

+x₂，

x12+1

+

x22+1

＞0，
∴t₁-t₂＜0，∴0＜t₁＜t₂，∴0＜

t1

t2

＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜lg1=0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上是单调增函数．