已知函数f(x)=x2+ax+ax,且a<1(1)用定义证明f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数;(2)若函数f(x)的定义域为[1,+∞),且m满足f(3m)
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已知函数f(x)=x2+ax+ax,且a<1(1)用定义证明f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数;(2)若函数f(x)的定义域为[1,+∞),且m满足f(3m)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
x
2
+ax+a
x
,且a<1
(1)用定义证明f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数;
(2)若函数f(x)的定义域为[1,+∞),且m满足f(3m)>f(5-2m),试确定m的取值范围.
答案
(1)因为x∈[1,+∞),所以设1≤x
1
<x
2
,
若a=0,则
f(x)=
x
2
x
=x
在[1,+∞)上是增函数.
若a<0,则
f(x)=x+
a
x
+a
在[1,+∞)上是增函数.
若0<a<1,则
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
x
1
+
a
x
1
+a-(
x
2
+
a
x
2
+a)
=
x
1
-
x
2
+
a(
x
2
-
x
1
)
x
1
x
2
=(
x
1
-
x
2
)⋅
1-a
x
1
x
2
x
1
x
2
,
因为1≤x
1
<x
2
,a<1,所以x
1
-x
2
0.
所以f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),即函数为增函数.
综上恒有f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数.
(2)由(1)知函数f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,
所以由f(3m)>f(5-2m),得
3m≥1
5-2m≥1
3m>5-2m
,即
m≥
1
3
m≤2
m>1
,所以1<m≤2.
举一反三
设函数
f(x)=
-1,x>0
1,x<0
,则
(a+b)-(a-b)f(a-b)
2
(a≠b)的值是( )
A.a
B.b
C.a,b中较小的数
D.a,b中较大的数
题型:单选题
难度:简单
|
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下列函数为奇函数,且在(-∞,0)上单调递减的函数是( )
A.f(x)=x
-2
B.f(x)=x
-1
C.
f(x)=
x
1
2
D.f(x)=x
3
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
若函数
f(x)=
3
x
2
-4
(x>0)
π
(x=0)
0
(x<0)
,则f(f(f(-1)))=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
根据函数单调性的定义,判断
f(x)=
ax
x
2
+1
(a≠0)在[1,+∞)上的单调性并给出证明.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
2
x
,(x≤0)
f(x-3)(x>0)
,则f(5)
=( )
A.32
B.16
C.
1
2
D.
1
32
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
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