已知定义在R上的函数f(x)=1-2x2x+1是奇函数.(I)求实数a的值;(Ⅱ)判断f(x)的单调性,并用单调性定义证明;(Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t
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已知定义在R上的函数f(x)=1-2x2x+1是奇函数.(I)求实数a的值;(Ⅱ)判断f(x)的单调性,并用单调性定义证明;(Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义在R上的函数f(x)=
1
-2
x
2
x
+1
是奇函数.
(I)求实数a的值;
(Ⅱ)判断f(x)的单调性,并用单调性定义证明;
(Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
答案
(I)由于定义在R上的函数f(x)=
1
-2
x
2
x
+1
是奇函数,故有f(0)=0,即
a-1
2
=0,解得 a=1.
(Ⅱ)由上可得 f(x)=
1
-2
x
2
x
+1
=
2
1
+2
x
-1
,设x
1
<x
2
,可得f(x
1
)-f(x
2
)=(
2
1
+2
x
1
-1
)-(
2
1
+2
x
2
-1
)
=
2
1
+2
x
1
-
2
1
+2
x
2
=
2
(2
x
2
-2
x
1
)
(1
+2
x
1
)(1
+2
x
2
)
.
由题设可得
2
x
2
-
2
x
1
>0,(1+
2
x
2
)(1+
2
x
1
)>0,故f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
),
故函数f(x)是R上的减函数.
(Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,等价于f(t
2
-2t)<-f(2t
2
-k)=f(-2t
2
+k) 恒成立,
等价于 t
2
-2t>-2t
2
+k恒成立,等价于3t
2
-2t-k>0恒成立,故有判别式△=4+12k<0,
解得k<-
1
3
,故k的范围为(-∞,-
1
3
).
举一反三
设0≤x≤2,则函数
f(x)=
4
x-
1
2
-3•
2
x
+5
的最大值是______,最小值是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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(文)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{sinx,cosx},则f(x)的最大值等于______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=-x
2
+ax+1-lnx.
(Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间(0,
1
2
)上是减函数,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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设
f(x)=
e
x
,x<1
-2x+
∫
a0
2tdt,x≥1
,若f(f(0))=a,则a=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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凸函数的性质定理为:如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x
1
,x
2
,…,x
n
,有
f(
x
1
)+f(
x
2
)+…+f(
x
n
)
n
≤f(
x
1
+
x
2
+…
x
n
n
),已知函数y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值为______
题型:填空题
难度:一般
|
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