已知动点P(x,y)到点F(0,1)与到直线y=-1的距离相等,(1)求点P的轨迹L的方程;(2) 若正方形ABCD的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2)
题型:解答题难度:一般来源:烟台一模
已知动点P(x,y)到点F(0,1)与到直线y=-1的距离相等, (1)求点P的轨迹L的方程; (2) 若正方形ABCD的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<0≤x2<x3)在(1)中的曲线L上,设BC的斜率为k,l=|BC|,求l关于k的函数解析式l=f(k); (3)求(2)中正方形ABCD面积S的最小值. |
答案
(1)由题设可得动点P的轨迹方程为x2=4y.(4分) (2)由(1),可设直线BC的方程为:y=k(x-x2)+(k>0),, 易知x2、x3为该方程的两个根,故有x2+x3=4k,得x3=4k-x2, 从而得|BC|=(x3-x2)=2(2k-x2)(6分) 类似地,可设直线AB的方程为:y=-(x-x2)+, 从而得|AB|=(2+kx2),(8分) 由|AB|=|BC|,得k2•(2k-x2)=(2+kx2), 解得x2=,l=f(k)=(k>0).(10分) (3)因为l=f(k)=≥=4,(12分) 所以S=l2≥32,即S的最小值为32, 当且仅当k=1时取得最小值.(14分) |
举一反三
在区间D上,如果函数f(x)为增函数,而函数f(x)为减函数,则称函数f(x)为“弱增”函数.已知函数f(x)=1-. (1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增”函数; (2)设x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,证明|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|; (3)当x∈[0,1]时,不等式1-ax≤≤1-bx恒成立,求实数a,b的取值范围. |
已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1). (Ⅰ)当a=2时,求f(2); (Ⅱ)求解关于x的不等式f()>0; (Ⅲ)若函数f(x)在[2,4]的最小值为4,求实数a的值. |
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[-1,0)时f(x)=()x,则f(log28)等于______. |
已知函数f(logax)=(x-x-1),其中a>0且a≠1. (1)求f(x)的解析式; (2)判断并证明f(x)的单调性; (3)当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求实数a的取值范围. |
f(x)=|x+2|+1,g(x)=ax,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是______. |
最新试题
热门考点