在区间D上,如果函数f(x)为增函数,而函数1xf(x)为减函数,则称函数f(x)为“弱增”函数.已知函数f(x)=1-11+x.(1)判断函数f(x)在区间(
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在区间D上,如果函数f(x)为增函数,而函数1xf(x)为减函数,则称函数f(x)为“弱增”函数.已知函数f(x)=1-11+x.(1)判断函数f(x)在区间(
题型:解答题
难度:一般
来源:广东三模
在区间D上,如果函数f(x)为增函数,而函数
1
x
f(x)
为减函数,则称函数f(x)为“弱增”函数.已知函数
f(x)=1-
1
1+x
.
(1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增”函数;
(2)设x
1
,x
2
∈[0,+∞),x
1
≠x
2
,证明
|f(
x
2
)-f(
x
1
)|<
1
2
|
x
2
-
x
1
|
;
(3)当x∈[0,1]时,不等式
1-ax≤
1
1+x
≤1-bx
恒成立,求实数a,b的取值范围.
答案
(1)显然f(x)在区间(0,1]为增函数,
∵
1
x
f(x)=
1
x
(1-
1
1+x
)=
1
x
1+x
-1
1+x
=
1
x
x
1+x
(
1+x
+1)
=
1
1+x+
1+x
,
∴
1
x
f(x)
为减函数.∴f(x)在区间(0,1]为“弱增”函数.
(2)
|f(
x
2
)-f(
x
1
)|=|
1
1+
x
2
-
1
1+
x
1
|=
|
1+
x
1
-
1+
x
2
|
1+
x
2
1+
x
1
=
|
x
2
-
x
1
|
1+
x
2
1+
x
1
(
1+
x
2
+
1+
x
1
)
,
∵x
1
,x
2
∈[0,+∞),x
1
≠x
2
,
1+
x
2
1+
x
1
(
1+
x
2
+
1+
x
1
)>2
,
∴|f(x
2
)-f(x
1
)|
<
1
2
|
x
2
-
x
1
|
.
(3)∵当x∈[0,1]时,不等式
1-ax≤
1
1+x
≤1-bx
恒成立. 当x=0时,不等式显然成立.
当x∈(0,1]时.等价于:
a≥
1
x
f(x)
b≤
1
x
f(x)
,
由(1)
1
x
f(x)
为减函数,
1-
2
2
≤
1
x
f(x)<
1
2
,∴
a≥
1
2
,b≤1-
2
2
.
举一反三
已知函数f(x)=
(log
a
x)
2
-log
a
x-2(a>0,a≠1).
(Ⅰ)当a=2时,求f(2);
(Ⅱ)求解关于x的不等式f(
1+x
1-x
)>0;
(Ⅲ)若函数f(x)在[2,4]的最小值为4,求实数a的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[-1,0)时f(x)=(
1
2
)
x
,则f(log
2
8)等于______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
f(lo
g
a
x)=
a
a
2
-1
(x-
x
-1
)
,其中a>0且a≠1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断并证明f(x)的单调性;
(3)当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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f(x)=|x+2|+1,g(x)=ax,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=x+
2
x
.
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(2)证明:函数f(x)在
[
2
,+∞)
内是增函数.
题型:解答题
难度:一般
|
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