已知函数f(x)=x+2x．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明：函数f（x）在[2，+∞)内是增函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=x+

2

x

．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明：函数f（x）在[

2

，+∞)内是增函数．

答案

（1）函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）（1分）
∵f(-x)=-x+

2

-x

=-(x+

2

x

)=-f(x)，
∴f（x）是奇函数．（5分）
（2）设x1，x2∈[

2，

+∞)，且x₁＜x₂ （6分）
则f(x1)-f(x2)=x1+

2

x1

-(x2+

2

x2

)=(x1-x2)+(

2

x1

-

2

x2

)=(x1-x2)(

x1x2-2

x1x2

)，（7分）
∵

2

＜x1＜x2，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-2＞0，x₁x₂＞0（10分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）（11分）
故f（x）在[

2

，+∞)内是增函数．（12分）